Machin formula /梅钦公式

梅钦公式( Machin formula )是一个计算 π 值的公式,至今仍被广泛应用,本文介绍如何使用计算机实现它。

π 的简史

四千年前,巴比伦人用 3+ 1/8 作为圆周率, 同时期的埃及人用 4-(8/9)^2 做圆周率;

三千年前,中国先人用3 作为圆周率;

公元前三世纪,古希腊科学家阿基米德首先采用计算的方法,得出 π 可能是  3.14;

公元五世纪,我国数学家祖冲之把 π 算到了 3.1415926 到 3.1415927 之间;

公元 15 世纪, 阿拉伯数学家阿尔·卡西 (Al-Kāshī,1380?– 1429),用几何的方法,计算到了小数点后 16 位;

1666 年, 牛顿用自己设计的公式把 计算到了小数点后的15位,这个公式的收敛速度非常慢,我猜想他可能花了几个月,甚至几年干这事儿。

1706年,英国人 约翰·梅钦( John Machin) 发明了一个用于计算 π 值的公式。

1873 年, William Shanks 使用梅钦公式用了几年时间,计算到了 小数点后的 707 位。

20世纪30年代, 人们( 新西兰的数学家艾特肯(Aitken)教授 )才开始怀疑 Shanks 犯了一个错误。事实上,他在第528位犯了一个错误,所以剩下的180位数是错误的。

1949年,ENIAC(Electronic Numerical Integrator And Computer, 电子数字积分计算机)计算机用了70个小时,计算到了 小数点后的2037位。

近年来,被到了小数点后的1.24万亿位。

 

简介

 

虽然印度人拉马努金( Srinivasa Ramanujan ) 整了一堆如何计算 π 的公式,还有了 BBP ( Bailey- Borwein -Plouffe,   David Bailey / Peter Borwein / Simon Plouffe  )公式, 以及其他若干种类梅钦(Machin-like)公式,但梅钦公式至今仍然是计算 π 值的主要公式。

梅钦公式是这样的:

Machin formula

或者写为:

Machin formula

梅钦公式是格里高利/莱布尼茨计算 公式的变体,但是更实用,它的收敛速度显著增加,这使得它成为了更实用的计算π的方法。

 

实现

JavaScript 实现:

 

 


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